Nouveau modèle générique de moteur électrique.

Après quelques hésitations (ça complexifie un peu les choses...), j'ai retouché le modèle générique de moteur électrique de Tetacalc.

Qu'est ce que c'est que cette chose ? 

C'est simplement un outil permettant de reproduire les performances de n'importe quel moteur brushless (outrunner en tout cas !). Le but étant d'obtenir des prédictions pour un moteur inexistant dans la base de donnée. Cela permet aussi de chercher le moteur idéal pour une propulsion donnée, afin de trouver par la suite le moteur du commerce qui s'en approche le plus. Enfin bon, ça peut toujours servir quoi !

Pour commencer, je dois rappeler le modèle général utilisé par Tetacalc.

Le modèle simplifié du moteur électrique décrit la relation entre vitesse de rotation et couple d'une part, et tension et courant d'autre part de la manière suivante:

pour la vitesse de rotation:      

n = Ke.(U-Rm.I),

pour le couple:                      

C = I/Kt,

avec :

n : vitesse de rotation en rad/s,

U : tension appliquée en V,

Rm : résistance interne du moteur,

I : courant en A,

C : couple en N.m,

Ke : constante de vitesse,

Kt : constante de couple.

A noter que :

Ke = Kt.

Le Kv correspond en fait aux constantes Ke et Kt, mais exprimé en tr/min par volt et non en rad/s par volt comme pour Ke (je nomme probablement ici les choses d'une façon non conventionnelle).

Il faut également noter qu'ici le couple, noté C, correspond au couple total nécessaire à la rotation du moteur, soit le couple généré par la charge appliquée au moteur, le couple "utile" (noté Cu), mais aussi le couple généré par la seule rotation du rotor (noté Cr).

On a donc:

C = Cu + Cr.

C'est là qu'intervient ce que l'on nomme le courant à vide, Io. En effet, le courant est proportionnel au couple, on peut donc "isoler" une partie du courant comme n'étant que la part du courant nécessaire à la rotation "à vide" du rotor:

Cu + Cr = I/Kt,

Cu = I/Kt - Cr,

Cu = I/Kt - Io/Kt = (I-Io)/Kt.

La puissance utile du moteur (la puissance de sortie) est donc:

Pu = n.Cu =  Ke.(U-Rm.I).(I-Io)/Kt,

et comme Kt = Ke, on a finallement :

Pu = (U-Rm.I).(I-Io).

A noter que Io est variable selon la vitesse de rotation du moteur.

Ici, c'est le modèle simplifié que l'on retrouve un peu partout. Ce modèle ne permet malheureusement pas de reproduire avec fidélité les performances des moteurs couramment utilisés en aéromodelisme, et de leurs contrôleurs.

Tetacalc modifie sensiblement ce modèle. Premièrement, Tetacalc considère le couple moteur + contrôleur comme une unité. Ensuite, Tetacalc décrit la résistance du système comme étant fonction de la vitesse de rotation, ce qui aboutit à la formule suivante:

n = Ke.(U-Rd(n).I).

La résistance considérée (Rd) varie donc linéairement avec la vitesse de rotation. En fait, la modélisation d'un moteur se fait de sorte que cette relation de linéarité soit respectée au mieux.

Les graphes qui suivent montrent la puissance nécessaire selon la vitesse de rotation, pour différentes hélices, chacune entraînée par différents moteurs, comme calculée d'après le modèle utilisé par Tetacalc. Quand elle est disponible, la puissance calculée d'après les données de l'UIUC est indiquée par les pointillés rouges (d'après le couple mesuré au dynamomètre):

On voit d'une part l'excellente corrélation entre les valeurs calculées d'après la modélisation de chaque moteur, ce qui est déjà un bon indice de la validité de la méthode. D'autre part, la puissance calculée est très proche de celle déduite des données de coefficients de puissance établit par l'UIUC (Université de l'Illinois - Champaign Urbana).

En fait, le modèle, à peine plus complèxe que le modèle traditionnel, permet d'utiliser un moteur électrique comme un dynamomètre pour mesurer le couple moteur !

Donc, ici il s'agissait du modèle générique...

Pour calculer les performances d'un moteur, Tetacalc a besoin de plusieurs paramètres: le Kv, la résistance, le courant à vide. Le modèle générique doit pouvoir calculer les performances d'un moteur, connaissant sa masse et son Kv. Le but de jeu est donc de pouvoir relier la résistance et le courant à vide d'un moteur à sa masse et son Kv.

Pour commencer, la résistance... comme on l'a vu, elle est supposée variable selon les tr/min. Cependant, on peut considérer qu'il existe une part fixe, la résistance du système moteur bloqué, c'est à dire la résistance pour n=0. Je la nomme Rm, bien que ce ne soit pas très joyeux puisqu'il ne s'agit pas à proprement parlé de la résistance interne du moteur, mais bon...

Logiquement, la résistance du bobinage d'un moteur devrait être inversement proportionnelle au produit du carré de la masse de cuivre par le carré du Kv (...). La masse du bobinage n'est cependant pas une donnée facile à connaitre sans détruire le moteur, ce qui est facheux. On peut tout de même partir du principe que la masse du bobinage représente un pourcentage plus ou moins constant de la masse totale du moteur, au moins pour des moteurs de conception similaire. On peut alors rechercher une relation entre la résistance à n=0 et 1/(M²*Kv²), où M est la masse du moteur en kg.

Effectivement, la résistance à n=0 semble suivre cette relation, ici pour Rm calculée d'après les données sur les moteurs Cobra:

La disparité est quand même assez marquée.

Ci-dessous, le même graphe mais pour 4 moteurs de la même série (marque EMP, série N2826):

 La corrélation est fortement influencée par les différences de conception, les erreurs inhérentes à la modélisation, etc. Le principe semble tout de même valable.

La pente de Rd selon n semble également liée à 1/(M²*Kv²), mais d'une manière plus complexe. Les données tirées de la modélisation des moteurs Cobra montrent effectivement une relation linéaire, mais font apparaître deux populations. Les moteurs de 4 séries ont été modélisés, chacune caractérisé par un diamètre de stator différent (22, 28, 35 et 41 mm). On voit sur le graphe ci-dessous la répartition en deux populations, les moteurs de 22 et 28 mm d'un côté, ceux de 35 et 41 mm de l'autre:

Le même graphe pour les seuls moteurs EMP de la série N2830:

Bon, j'ai choisi le meilleur ! mais la tendance est bien marqué pour des moteurs de même conception.

A suivre...